vitesses

Les vitesses

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Le mouvement c’est la vie et l’évolution n’a pas attendu les mathématiques et la proportionnalité pour faire de la vitesse une grandeur familière. Notre cerveau est capable d’évaluer à vue la vitesse d’une voiture et nous permet ainsi de traverser la rue en toute sécurité, et aux sportifs d’estimer très précisément la trajectoire et la vitesse d’un ballon pour faire un amorti, une reprise de volée ou un arrêt réflexe. Par leurs jeux ou par les compétitions sportives, les élèves ont très tôt l’expérience du mouvement et une bonne conscience de la vitesse. « Qui est le plus rapide ?» est une question naturelle, mais la vitesse n’est pas encore une grandeur.

Le point de départ pour aborder mathématiquement la grandeur-vitesse est le mouvement uniforme. On l’exprime souvent par une valeur unitaire.

Vitesses multiples

Alors que l’étude du mouvement est à l’origine des mathématiques modernes et de la notion de fonction, le volume des problèmes de vitesses dans les programmes ne cesse de diminuer . Cette page essaie de rappeler la richesse et l’intérêt de ce sujet pour l’enseignement.

Il se justifie par « en deux temps égaux, on parcourt deux distances égales ». Dans la pratique, on choisit l’unité de temps la plus petite. On dispose ainsi d’une situation de proportionnalité et de toutes les procédures qui en découlent.

Les élèves connaissent les panneaux de limitation de vitesse ou les compteurs de voiture, mais ils n’en connaissent pas toujours les unités. Ils n’en sont souvent qu’au stade « plus c’est grand, plus ça va vite . » Pour les calculs, 50 km/h c’est 50 km en 1h si on suppose le mouvement uniforme, mais cela ne signifie nullement que l’on s’est déplacé pendant 1 heure.

Une équipe cycliste effectue une course contre-la-montre sur le plat. Elle parcourt 700 m à chaque minute. Combien de temps mettra-t-elle pour parcourir la distance totale qui est de 63 km ?

Exemple : Quelle est la vitesse d’un sportif qui court le 100 m en 10 s ?

Interprétation : il court à 36 km/h, c’est-à-dire que s’il avait pu garder la même vitesse pendant 1 heure, il aurait parcouru 36 km .

Avec l’expérience, on pourra utiliser une formule

Mouvement uniforme ?

Des situations variées :

Les rencontres

Quelle est la distance parcourue par jour, par un bateau qui file 20 nœuds ?

Un avion passe le mur du son lorsqu'il dépasse la vitesse du son (340 m/s ). On dit qu'il vole à Mach1. Quelle est alors sa vitesse en km/h ?

A quelle vitesse la Terre tourne-t-elle autour du Soleil ?

Proportionnalité simple

Sons et lumières

Vitesses circulaires

Quelle vitesse Usain Bolt a-t-il atteinte lors de son record du monde du 100 m ?

A quelles heures les deux aiguilles d’une montre se superposent-elles ?

Hier, Louise s’est rendue d’une seule traite chez une amie. Aujourd’hui, elle repart à la même heure et rentre chez elle par le même chemin, sans s’arrêter. Est-il possible qu’elle repasse exactement au même endroit à la même heure ?

Un piéton, qui fait 5 km à l’heure, part de la ville A vers la ville B. Au même moment, un cycliste part de B vers A, à la vitesse de 22 km/h. Ces deux villes sont distantes de 81 km. 1°) Au bout de combien de temps le piéton et le cycliste se rencontreront-ils ? 2°) A quelle distance de la ville A ?

Un cycliste, dont la vitesse est de 24 km/h, part de Marseille. Trois heures plus tard, un motocycliste part dans la même direction à la vitesse de 42 km/h. 1°) Dans combien de temps aura-t-il rejoint le cycliste ? 2°) A quelle distance de Marseille ?

Si on appelle y la distance à la ville A en km et x le temps de parcours en heures, grâce à la formule D = V T, on peut exprimer y en fonction de x. pour le piéton : y = 5 x pour le cycliste : y = 81 - 22 x Comme se rencontrer, c’est être au même endroit au même moment, 5 x = 81 - 22 x soit x = 3 et y = 15

Les graphiques vitesse-temps

Quand on parle de proportionnalité, il est souvent fait référence aux fonctions linéaires .

Deux villes A et B sont situées à 120 km l’une de l’autre. Un cycliste part de A à 8 h, il roule vers B à la vitesse de 30 km/h. Un camion quitte B à 9 h 30, il roule vers A à la vitesse de 60 km/h. A quelle heure se rencontreront-ils ?

En prenant comme abscisse, la durée du parcours en heures et en ordonnée, la distance parcourue en km, on obtient pour le cycliste, la fonction f( x ) = 30 x . Elle est linéaire et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine. On peut procéder de même pour le camion mais cela n’offre aucun intérêt puisqu’ils ne partent ni du même endroit, ni à la même heure.

Pour intégrer tous les éléments du problème, il faut changer de grandeurs. En abscisse, on utilise une grandeur qui n’a pas de nom bien fixé. On parle de « l’instant t », « l’heure h », « le jour j » … Ce n’est plus une durée, l’addition n’a pas de sens. En ordonnée, on utilise la position des véhicules, repérée par leur distance à A. Ce n’est plus la distance parcourue, l’addition n’a toujours pas de sens. Les deux grandeurs utilisées sont des grandeurs repérables .

Les fonctions obtenues sont des fonctions affines. Leurs variations en x et y sont proportionnelles. Par un changement de repère, on peut s’arranger pour que la fonction « cycliste » soit linéaire, mais c’est anecdotique.

Les fonctions les mieux adaptées à l’étude de la proportionnalité, sont les fonctions affines.