3°) Exemples de grandeurs quotients
Les proportions
Les proportions sont des quotients de grandeurs homogènes exprimées dans la même unité,
elles sont donc sans dimension et s’expriment sans unité.
On les rencontre sous des appellations très variées :
fraction, quotient, pourcentage, taux, coefficient, rapport, fréquence, probabilité,
degré, densité, échelle, format, pente, sinus, indice, raison, cote, ratio…
Les masses volumiques
Dans
un
corps
homogène
(l’eau,
le
sel,
le
gaz
carbonique,
le
fer
…),
tous
les
échantillons de même volume ont la même masse ce qui assure la proportionnalité.
Le quotient masse / volume est une grandeur qui permet de les comparer .
•
L'unité légale est le kilogramme par mètre cube (kg/m
3
)
•
On
utilise
couramment
le
g/cm
3
,
le
kg/L
ou
la
t/m
3
(
1 g/cm
3
=
1 kg/L
=
1 t/m
3
),
pour obtenir des valeurs numériques de l'ordre de l'unité.
•
Il ne faut pas la confondre avec la
densité
qui est une grandeur sans dimension.
Un robinet débite 40 litres d'eau en 5 min.
Quel volume d'eau s'écoule en 1 h ?
Combien de temps faudrait-il pour remplir une piscine de 5 m
3
avec ce robinet ?
L’écoulement de l’eau étant régulier, les deux grandeurs sont proportionnelles.
Pour ne pas être embêté par les conversions en cours de calcul, on peut régler le problème en amont en fixant les unités.
Ce tableau représente tous les éléments de la situation et malgré les deux étiquettes, ce sont tous des nombres.
Ce qui montre que l'on peut passer d'une ligne à l'autre en multipliant ou en divisant
toujours par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.
En fait, ce sont les deux valeurs unitaires, inverses l’une de l’autre.
Les coefficients de proportionnalité sont des nombres qui dépendent des unités choisies,
si on change les unités, les coefficients de proportionnalité changent et les formules aussi.
Les moyennes
Par un calcul de quatrième proportionnelle, on obtient :
Il est rare dans la réalité de rencontrer des situations parfaitement proportionnelles.
Même
le
mouvement
des
planètes
qui
a
longtemps
servi
à
régler
nos
horloges,
n’en
relève
pas.
Il
est
par
contre
facile
de
le
supposer
pour
obtenir
une
première
approximation ou pour fabriquer un exercice scolaire.
Exemple
:
Les concentrations
Les valeurs unitaires.
Elles
ont
un
rôle
central
pour
la
proportionnalité
et
cela
mérite
un
travail
spécifique
basé
sur
l’identification des grandeurs.
Voici quelques exercices.
La salinité des océans est 35 g / L
celle de la Mer Morte est 275 g / L
La concentration est le quotient entre la masse d’un produit et le volume du solvant.
Pour un médicament elle est souvent exprimée en g /100 ml, appelée aussi % :
une ampoule de 10 ml de NaCl à 20 % contient 2g de NaCl.
Eurêka
Les carats
Aujourd’hui, les grandeurs quotients ont envahi notre quotidien :
En voiture vous pensez vitesse, consommation d’essence, prix du litre, pression des pneus …
Pour choisir une image ou un écran, vous pensez format, résolution, échelle, forfait, débit internet, …
…
Les moyennes sont des machines à fabriquer de la proportionnalité
Le système métrique adopté à la Révolution Française permet d’effectuer les calculs avec les unités.
En général une seule des deux grandeurs quotients possibles est privilégiée.
Pour les déplacements par exemple, on utilise la vitesse (distance par unité de temps ),
la durée par unité de distance n’est pratiquement pas utilisée.
Pour éliminer cet inconvénient, à partir du XVIII
ème
siècle, les scientifiques utilisent des formules
en opérant directement sur les grandeurs, même si elles sont hétérogènes.
Pour les écoulements, ils définissent ainsi le débit :
1°) Les problèmes de comparaisons
Quel est le jus d’orange le plus économique ?
2°) Les grandeurs quotients
Les coefficients de proportionnalité
Les grandeurs quotients
Un sportif court le 100 m en 10 s.
On
suppose
que
la
distance
parcourue
à
chaque
seconde
est
identique,
sans changer la distance totale (100 m) et la durée totale (10 s).
La réponse s’obtient facilement en calculant les prix pour une même quantité.
-
Pourtant
ces
tests
,
effectués
en
classe
de
6
ème
,
montrent
que
la
notion
de
plus économique
n’est pas naturelle.
Beaucoup
l’associe
à
moins
cher
ou
plus
de
volume
,
n’arrivant
pas
à
penser
les deux grandeurs en même temps.
-
D’autres
sentent
bien
qu’il
y
a
de
la
proportionnalité
dans
l’air
et
font
même
un tableau là où il en faudrait deux.
Pour chaque type de produit, on peut calculer le quotient des deux grandeurs.
On obtient les prix unitaires :
0,92 €/L
et
1,08 €/L
Ces quotients mesurent une nouvelle grandeur qui s’applique aux deux types de produit indépendamment de leur quantité.
