Les deux grandeurs
varient en sens
inverse
.
Cet exemple ressemble beaucoup à la proportionnalité composée.
Il y a bien trois grandeurs, mais le nombre de personnes et le nombre de jours
sont deux grandeurs indépendantes, elles ne sont pas proportionnelles.
8 ouvriers saisonniers effectuent les vendanges en 4 jours.
En combien de temps se fera la récolte s’ils sont 16 ?
On peut même en faire un tableau :
La proportionnalité inverse
Les grandeurs produits
Une famille de 5 personnes a passé 4 jours à l'hôtel. Elle a payé 1 200 €.
Quelle somme aurait payée une famille de 2 personnes pendant 3 jours ?
La proportionnalité simple considérée jusqu’ici est une situation constituée d’une seule famille d’objets
caractérisée par deux grandeurs additives et deux propriétés : la bijection et la linéarité.
Mais ici, il n’y a ni coefficient directeur ni produit en croix. Il manque un ingrédient majeur : la linéarité.
S’il y a deux fois plus d’ouvriers, il faudra deux fois moins de jours pour effectuer le même travail.
Si n est le nombre d’ouvriers
et J le nombre de jours :
Les partages proportionnels
Une voiture consomme 5 L aux 100 km.
Avec 30 €, son conducteur peut acheter 20 L d’essence.
Combien coûtera un voyage de 500 km avec cette voiture?
Les situations affines
Les français utilisent le degré Celsius (° C) comme unité de mesure de température
alors que les américains utilisent le degré Fahrenheit (° F).
La glace fond à 32° F et l'eau bout à 212° F.
Quelle est la température du corps humain en degrés Fahrenheit ?
On partage 30 œufs de Pâques entre Raphaël et Enzo dans le rapport 2 : 3 ( 2 pour 3 ).
Quelle quantité d’œufs, chacun recevra-t-il ?
Les ratios
Un père et son fils bêchent le jardin. Le père mettrait 2 jours pour le retourner
tout seul. Son fils mettrait 3 jours.
Combien de temps mettront-ils à eux deux ?
Un
mélange
de
peinture
contient
9
litres
de
blanc
et
6
litres
de
bleu.
Un deuxième pot contient 10 litres de blanc et 15 litres de bleu.
Quel est la proportion de peinture blanche dans chaque pot ?
On mélange les 2 pots. Quel est la proportion de peinture blanche ?
Une
expédition
scientifique
dans
l'Antarctique,
composée
de
60
personnes,
rencontre
un
groupe de personnes épuisées et sans vivres, survivants d'une expédition malheureuse.
Le cuisinier fait ses comptes et déclare :
"
Nous
avions
15
jours
de
vivres.
Désormais,
nous
n'en
avons
plus
que
pour
12
jours
".
Combien de personnes ont-elles été recueillies ?
La proportionnalité composée
Beaucoup d’énoncés de problèmes offrent des ressemblances trompeuses avec cette situation.
Soit il manque des ingrédients, soit des éléments supplémentaires rendent la situation plus complexe.
Ce sont en général des problèmes qui ont disparu des programmes mais que l’on retrouve parfois
comme énigme ou comme exercice de mise en équation.
Ce n’est plus le quotient
mais le produit qui est fixe : 8 x 4 = 16 x 2 = 32
Si
on
suppose
que
tous
les
saisonniers
fournissent
un
travail
équivalent,
cela ressemble fortement à une situation de proportionnalité.
V = 0,05 D
C = 1,5 V
C = 0,075 D
La difficulté est ici volontairement augmentée
en ne proposant aucune colonne complète.
C’est bien plus simple par exemple avec les
recettes, une seule opération suffit.
Les deux graduations ne sont pas proportionnelles car les deux «zéros» ne coïncident pas.
Par contre, comme elles sont régulières, les écarts eux, sont proportionnels.
L’écart correspondant à 100° C est 212° F - 32° F = 180° F
Un écart de 1° C est donc égal à un écart de 1,8° F .
La température du corps humain en degrés Fahrenheit vaut 32 + 1,8 x 37 = 98,6
Il s’agit d’une situation à trois grandeurs
proportionnelles deux à deux.
On dispose de toutes les procédures habituelles :
linéarité, coefficients, valeurs unitaires,
produits en croix, formules.
On peut calculer que le coût du séjour
d’une personne par jour est de 60 €.
C = 60 x P x J
Le coût est une grandeur produit.
Le coût est bien proportionnel au nombre de personnes,
mais à la condition que le nombre de jours reste fixe.
De la même manière le coût est proportionnel au nombre de jours.
T
F
= 32 + 1,8 T
C
Les mélanges
Les vitesses
1 situation de proportionnalité,
on ajoute les valeurs.
2 situations de proportionnalité,
on ajoute les quantités.
2 situations de proportionnalité,
on ajoute les coefficients.
Proportionnalité et additions
Il s’agit d’un problème de proportionnalité simple, basé sur un partage en parts égales.
La difficulté vient du fait qu’il n’y a aucune correspondance entre les données.
On ne connaît que le taux initial et le taux désiré, on peut calculer les proportions
du mélange en appliquant mécaniquement la règle des mélanges.
Réponse : 10 unités d’alcool à 90° pour 20 unités d’alcool à 60°.
Pour éviter les fractions, on peut calculer qu’à eux deux, ils bêchent 5 jardins en 6 jours, soit 1 jardin en 1,2 jours = 1 j 4 h 48 min
La solution utilise la linéarité sous sa forme additive :
il y a 5 parts au total. Une part vaut donc 6 œufs. Raphaël en recevra 12 et Enzo 18.
Les proportions ne s’ajoutent pas.
Dans quelles proportions mélanger de l’alcool à 90° et de l’alcool à 60°
pour obtenir de l’alcool à 70° ?
En guise de bilan
Deux
Arabes,
l'un
portant
5
pains,
l'autre
3
pains,
rencontrent
dans
la
campagne
un
voyageur
riche
et
affamé.
Ils
déjeunent
ensemble,
puis
le
voyageur,
pour
prix
de
son
repas, leur donne 8 pièces d'or. Comment doivent-ils se partager ces 8 pièces d'or ?
Récréations arithmétiques Emile FOURNEY 1899
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