«  En mathématiques, on ne travaille pas sur les grandeurs (c’est l’objet d’autres disciplines, comme la physique, la technologie, les sciences de la vie et de la Terre ou la géographie et l’économie par exemple), mais avec les grandeurs ou à partir d’elles. En mathématiques, on travaille dans le domaine des nombres  ». Programme de 3e. Place des grandeurs dans l’enseignement des mathématiques au collège.

On a déjà vu comment construire un tableau de valeurs, à partir d’une situation de proportionnalité, en mettant de côté les grandeurs et les unités.

La tentation est forte d’inverser le processus pour définir directement la proportionnalité à partir des tableaux en écartant définitivement les grandeurs et les unités. Il n’y a alors pas d’autres solutions que d’utiliser les valeurs du tableau comme dans les exemples ci-contre extraits de manuels de 5 ème . - Ce sont les lignes qui deviennent proportionnelles. - Un seul coefficient apparaît. - Le deuxième exemple montre que les propriétés de proportionnalité ne sont valables que pour les cases qui ont été vérifiées. On ne peut donc pas ajouter de nouvelles colonnes sans une nouvelle vérification. - Plus grave d’un point de vue didactique, les deux propriétés de base de la proportionnalité, la bijection et la linéarité, sont occultées.

On ne peut pas établir la proportionnalité de deux grandeurs à partir d’un tableau.

E n fait, en regardant les exercices corrigés de ces manuels, on s’aperçoit que l’on ne demande jamais aux élèves de démontrer que deux grandeurs sont proportionnelles, il suffit qu’ils l’affirment … ou pas.

Non ? Pourtant de nombreux manuels osent le grand saut.

Des grandeurs proportionnelles aux tableaux

Les tableaux

Des tableaux aux grandeurs proportionnelles

La durée et la distance étant des grandeurs continues, elles admettent une infinité de valeurs. Conclure à une vitesse constante à partir de deux valeurs est une erreur très grave en mathématique.

Passons sur ces mathématiciens qui laissent couler un robinet mal fermé pendant 1 an, passons aussi sur la méthode de mesure et l’étrange précision des résultats, car même si ce tableau est un tableau de proportionnalité, on ne peut pas conclure que les grandeurs sont proportionnelles.

Les situations rencontrées sont des grands classiques qui donnent lieu à une étude spécifique : les prix à l’unité, les pourcentages, les échelles, les vitesses. Pour chacune d’elle, l’élève doit connaître des procédures qui donnent la solution et servent en même temps de justification. La référence à la proportionnalité n’est même pas nécessaire. On retrouvera la même chose en géométrie où la proportionnalité est cachée derrière des formules, sans oublier le cas très particulier du théorème de Thales.