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Nous avons vu que les fractions-partages permettent, dans des cas simples, d’aborder des règles de calcul propres aux quotients mais si on continue dans cette voie, les énoncés proposés deviennent rapidement artificiels et frisent souvent le ridicule.

Pour les Grecs, les nombres commensurables étaient les seuls qu'on pouvait atteindre. Il est clair que c'est une survivance de ces idées périmées qui nous fait tant tenir aux nombres commensurables, nous nous cramponnons à eux comme aux seuls vestiges d'un enseignement disparu. Ne faudrait-il pas mieux reconnaître qu'il n'y aurait aucun scandale à supprimer le chapitre sur les fractions, car on sera bien, je pense, d'accord avec moi pour déclarer que marier des 22 èmes et des 37 èmes est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme, sans aucune raison d'utilité comme circonstance atténuante.

L’intégral de Lebesgue

Une fraction est un quotient . C’est ce point de vue qui doit transparaître au travers des problèmes de divisions, de grandeurs quotients, de proportions, dans l’organisation des calculs et le calcul mental.

L’Arithmétique est le chapitre consacré à la recherche des diviseurs communs. Après 30 ans d’absence, il est réapparu en 5éme en 2016.

Les simplifications sont une occasion de faire le lien avec la division au cours d’activités de calcul mental.

Pierre, Paul et Jacques doivent se partager équitablement 2 baguettes pour leur pique-nique. Comment peuvent-ils effectuer ce partage ?

Solution : ils partagent chaque baguette en trois parts égales et chacun en prend deux. 2 : 3 =

Les divisions

Les simplifications

La proportionnalité

Un marchand achète 45 douzaines d’œufs pour 99 €. Il les revend 3 € la douzaine. Quel est son bénéfice sur chaque douzaine ? Indiquez la réponse sans effectuer les calculs.

Demander les solutions en écriture algébrique met en évidence des équivalences entre les calculs et permet de choisir le plus simple ou d’éviter les valeurs approchées.

L’écriture algébrique

Calculez 36 : 48 puis vérifiez à la calculatrice.

solutions : ou

$- multiplier une fraction par un entier - calculer les de 5 - changer l’ordre des opérations (3 : 4) x 5 = (3 x 5) : 4 - la règle de trois - diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse C’est sans doute la propriété la plus importante en raison des nombreuses situations où elle est impliquée. Le couple division-multiplication$

Un coureur à pieds a couru à la même vitesse pendant 75 min. Il a parcouru 15 km. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir 6 km ?

Parmi les nombreuses solutions, en voici trois possibles.

Les opérateurs multiplicatifs

a : b : c = a : ( b x c )

L’exemple de la proportionnalité montre l’intérêt des opérateurs pour une visualisation dynamique des calculs. On trouve le même bénéfice à les utiliser pour illustrer les propriétés des divisions comme inverse des multiplications. Ces propriétés ne dépendent pas des nombres utilisés. On peut les représente par des lettres, chaque lettre pouvant être remplacée par un nombre réel ( sauf peut-être le zéro.)

Définition