Les structures : Les relations entre les grandeurs sont souvent exprimées par une procédure de calcul qui répond à une question type. Exemple : le prix à payer est égal à la quantité multipliée par le prix unitaire. Relation valable quelles que soient les unités et les valeurs des grandeurs, on se trouve déjà dans un cadre fonctionnel. D'autres problèmes surgissent en variant les grandeurs connues et inconnues. Il faut alors inverser les procédures, ce qui est une excellente initiation à l'algèbre. Exemple : la quantité est égale au prix à payer divisé par le prix unitaire Ces problèmes sont très ressemblants. Cela implique l’apprentissage et l'utilisation d'un vocabulaire précis, car on ne peut pas se contenter des calculs comme réponse. Écrire explicitement les grandeurs calculées est un véritable moyen de développer sa pensée et une aide à la mémorisation. Les nombres : Ils n’interviennent qu’au moment d’effectuer les calculs. L'une des plus grandes difficultés est d’empêcher les élèves de se précipiter sur les nombres visibles et choisir une des 4 opérations par élimination. Malheureusement, au début c’est une méthode efficace, par la suite les nombres décimaux remettent en cause des intuitions fondées sur les nombres entiers. La multiplication par un nombre décimal n’est pas qu’une simple technique de placement de virgule et elle ne peut plus être considérée comme une suite d'additions, c’est pourquoi son étude a été reculée au collège. Au final, les nombres n’interviennent pas dans le choix des opérations, on peut donc les remplacer par des entiers plus simples qui permettent des contrôles par les ordres de grandeurs et le calcul mental.

Quels problèmes proposer ? Un problème n'a d'intérêt que s'il pose des difficultés aux élèves, c'est sa raison d'être. Mais c’est un enjeu essentiel de choisir des difficultés qui peuvent être surmontées par les élèves pour éviter l'échec systématique, source de découragement, voire de dégoût. Qu’est-ce qu’un problème difficile ? Certains problèmes de soustractions sont moins bien réussis que des problèmes de divisions. Un problème d'addition est un véritable problème au CP, mais ne devrait plus en être un au collège. Il existe des erreurs systématiques rencontrées par la plupart des élèves qui indiquent des obstacles didactiques, c’est-à-dire inhérents aux mathématiques elles-mêmes, qu’un enseignant doit connaître. En voici une petite panoplie relevée chez des élèves de 6ème. ( La calculatrice était disponible ).

Après la correction, un élève s’est écrié : « ça ne peut pas être les 25 litres qui ont été consommés car ils ont été mis après ». Cela met en évidence trois mondes parallèles : le monde des objets physiques (essence) le monde des grandeurs (volume d’essence ) le monde des nombres (42 et 25 ) Si les calculs s’effectuent bien sur les nombres, les opérations sont déterminées par les relations entre les grandeurs.

Avant de partir en voyage, je suis passé à la station service pour faire le plein du réservoir de ma voiture. Son volume est de 42 litres. Lorsque je m'arrête à midi, je rajoute 25 litres pour refaire le plein. Quelle a été ma consommation d'essence ce matin ?

Presque tous les élèves échouent à ce problème, la plupart font 42 - 25 = 17 Certains font même 42 + 25 = 67 Seuls 2 élèves trouvent la bonne réponse en faisant : 42 - 25 = 17 puis 42 - 17 = 25

Adrien et Cédric participent à une course cycliste contre la montre. Adrien part 5 minutes avant Cédric et il arrive 3 minutes après lui. Qui a mis le moins de temps ?

Devant le nombre inquiétant d'erreurs à cet exercice cherché à la maison, je demande si quelqu'un a pensé à faire un schéma. Le meilleur élève de la classe vient faire le dessin suivant au tableau : Explications de l’élève : quand Cédric démarre Adrien est déjà parti depuis 5 min, quand Cédric arrive, Adrien doit courir encore 3 min.

Il y a confusion très nette entre les distances et les temps. Surprenant ? Sans doute, mais n'est-ce pas le même genre de difficultés que les adultes rencontrent avec l'heure d'été ?

Un marchand achète 37 douzaines d'œufs pour 266,40 €. Quel est le prix d'un œuf ?

Pour beaucoup trop d’élèves, résoudre un problème c’est faire une opération avec les nombres du texte. Ici, il y a deux nombres écrits en chiffres, inutile de chercher plus loin, le mot « douzaines » n’est même pas lu. Il faut trouver un prix beaucoup plus petit que 266,40 € donc l’opération n’est pas une multiplication, et comme on ne peut pas soustraire des euros et des œufs, il ne reste que la division.

La réponse majoritaire est : 266,40 € : 37 = 7,20 €.

Un paquet de 40 madeleines coûte 30 €. Quel est le prix d'une madeleine ?

L'habitude est de diviser le plus grand nombre par le plus petit et comme ça marche presque tout le temps, cela devient une règle.

Dans un test en début de 6éme, 87 élèves sur 125 ont répondu 40 : 30 = 1,33

L'eau de mer contient 35 g de sel par litre. Combien de litres d'eau de mer, faut-il évaporer pour obtenir un kg de sel ?

Il n'est pas rare de voir des élèves raisonner ainsi : 10 litres ne suffisent pas car cela ne fait que 350 g de sel, 30 litres c'est trop … Ils reconstruisent ainsi sans s'en rendre compte un algorithme de la division.

Cet énoncé comporte plusieurs difficultés : - Il n’y a qu’un seul nombre visible - Il faut prendre l’initiative d’une conversion - la question fait plutôt penser à une multiplication

a) Quel est le prix de 4 kg de pommes à 2,40 € le kg ? b) Quel est le prix de 2,4 kg d’oranges à 4 € le kg ?

1kg de fromage coûte 26,89 € Calculez le prix de 0,354 kg de fromage.

Alexia qui a réussi l’exercice précédent répond 26,89 : 0,354 Explication : « Je choisis une division parce que on doit trouver moins d’un kg donc on ne doit pas multiplier parce que ça serait trop grand. »

La multiplication par un décimal n’est pas un simple prolongement de la multiplication par un nombre entier. Pour le premier problème, il s’agit de multiplier par 4 : 4 x 2,40 € = 2,40 € + 2,40 € + 2,40 € + 2,40 € = 9,60 €. Pour le second problème la multiplication par 4 ne donne pas la solution. 4 x 2,4 kg = 2,4 kg + 2,4 kg + 2,4 kg + 2,4 kg = 9,6 kg On ne peut pas trouver des euros en ajoutant des kg. Pour multiplier par 2,4 le retour à l'addition n'est plus possible, il faut construire de nouvelles représentations pour lui donner du sens.

Pour trouver les opérations, les nombres n'interviennent pas, on peut donc les remplacer par d'autres plus sympathiques ( 2 kg et 50 € par exemple ). Les opérations sont déterminées dans le domaine des grandeurs : le prix unitaire = le prix : la quantité

Le premier exercice est réussi à 97 %, le second à seulement 31 %.

Il n’y a pas de problèmes, il n’y a que des professeurs. Marcel Pagnol

« La résolution de problèmes constitue un objectif fondamental du programme.»

L' apprentissage des problèmes se fait dans 3 dimensions Les situations : Décrites dans un énoncé, elles sont sensées décrire la vie quotidienne, certaines informations pouvant être implicites. L'élève doit identifier les grandeurs pertinentes qui en forment l'ossature. Exemples  : le prix à payer, la quantité, le prix unitaire Progressivement les situations vont s'étoffer : le nombre d'articles augmente, les quantités deviennent décimales, les grandeurs se diversifient (TVA, remises, prix de gros ...) Pour aider à les gérer, on utilise souvent des représentations à supports géométriques ( la droite graduée, graphiques), numériques (tableaux, factures ), algorithmiques (procédures de calcul) ou symboliques ( formules ).

Faire un crédit en 4ème